1729という自然数はHardy-Ramanujan Numberとして有名です。しかしそれ以外にも特徴のある数です。
例えば、\[1729 = 19 \times 91\]と書けますが、19は1729という10進数表現の各桁の総和、91はその数を10進数表現で逆順にした数です。そのような2つの数の積で書けるという自然数は珍しく、1729を除くと他に3つ(すなわち1、81、1458)しかありません。つまり1729はそのような性質を持つ最大の自然数として知られています。
「世にも美しい数学入門」に記載されているというこの事実は、初等的に証明できるでしょうか。
実は有限個の自然数だけしらみつぶしに探せばいい、ということは以下のようにして証明できます。与えられた自然数\(m\)について、10進数表現での各桁の総和を返す関数を\(s(m)\)とします。また、\(m\)を10進数表現で逆順にした数を返す関数を\(r(m)\)とします。さらに、\(k(m)\)で\(m\)の10進数表現での桁数を表すものとします(具体的には\(k(m) = \lceil \log_{10}(m+1) \rceil\)と定義できます)。\[n = s(n) r(s(n))\]となるような自然数\(n\)を探したいわけですが、\(s(n) \leq 9 k(n)\)なので、上の等式の右辺には以下のような上限があります。\[s(n) r(s(n)) \leq 9 k(n) (10^{k(9 k(n))} - 1)\]この上限は\(n\)が十分大きい場合は\(n\)よりずっと小さいことが分かります。実際、\begin{align}9 k(n) (10^{k(9 k(n))} - 1) &= 9 k(n) (10^{\lceil \log_{10}(9 k(n) + 1) \rceil} - 1)\\ &< 9 k(n) (10^{\log_{10}(9 k(n) + 1) + 1} - 1)\\ &= 9 k(n) (90 k(n) + 9)\end{align}となります。したがって、\(n\)が6桁以上の自然数だとこの上限は\(n\)に達しないことが分かり、高々\(n < 100000\)までの自然数について調べれば済むことになります。