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2020-08-08

ランダムに選んだ2つの整数が互いに素になる確率は6/π^2か?

ランダムに選んだ2つの整数が互いに素になる確率が\(\frac{6}{\pi^2}\)になる、という事実は以前からよく知られています。最近出版された論文Lei and Kadane (2020)では、その確率が具体的にどういう測度を指しているのかについて詳しく検討されています(preprintはこちら)。

この論文で証明されている結果は、主に次の2点です。

• 相対頻度の意味で一様な有限加法的な測度では、ランダムに選んだ2つの整数が互いに素になる"確率"は\(\frac{6}{\pi^2}\)である。同様に、可算加法的な一様な測度では必ず当該の確率は\(\frac{6}{\pi^2}\)である。
• 一方、別の意味での一様性を満たす有限加法的測度では、当該の"確率"が0から\(\frac{0}{\pi^2}\)までの間のどれかになる。

ただし、"確率"という形にして引用符で囲んでいるのは、有限加法的測度は必ずしも可算加法的ではないためです。現在普及している確率の公理によると、確率測度にはその加法族上での可算加法性が求められます。この公理がどういう意図で導入されたのかについては、Kolmogorovの記念碑的な著作、確率論の基礎概念で述べられています。

一見逆説的な上記の結果は、整数の集合\(\mathbb{N}\)(正確には、\(\mathbb{N}^2\))上の一様分布にはそれなりのバリエーションがあることを示しています。同時に、有限加法性でなく可算加法性を要求することが無用な混乱を防ぐのに役立つことが分かります。

2020-08-02

Org-Modeのエントリにメールへのリンクを簡単に追加するには

今回の記事は、次の条件に当てはまるEmacsユーザにとって役立つかもしれません。

• Org-modeでメモやTODOを管理しており、
• メールを読み書きするためにMewを使っている。

上記の方にはol-mew(以前はorg-mewと呼ばれていました)という拡張がきっと便利です。例えば、メールを読んでそれに関連するアイデアやタスクを記録するときに、そのきっかけになったメールへのリンクをエントリに記載したくなります。このワークフローを簡単にしてくれるコマンドorg-mew-captureをol-mewは提供します。

ol-mewの導入は、Emacsのpackageシステムのおかげで簡単です。その手順は以下のとおりです。

1. .emacs等の初期設定でOrg ELPA Archiveを登録する。
2. M-x list-packagesを実行し、パッケージ一覧からorg-plus-contribを選択し、インストールする。
3. .emacs等の初期設定に(require 'ol-mew)を加え、Emacsを再起動する。

これでorg-mew-captureが使えるようになります。試しにMewのSummary bufferで、どれかのsubjectにカーソルがある状態で上のコマンドを実行してみてください。

さらにcaptureされるエントリのテンプレートをカスタマイズすることもできます。InboxからM-x org-mew-captureを実行した際にリファイル先の選択と同時にリンクを作成する動作をカスタマイズするには、変数org-mew-capture-guess-alistやorg-mew-capture-inbox-foldersを用います。詳細はこれらのヘルプを見てください。

MewもOrg-modeもそれぞれ単独で機能する便利なツールですが、さらにこれらを組み合わせることで利便性を高めるol-mewはイノベーションそのものです。ちなみに、Mew以外のEmacs上のMUA(例えばGnusやWanderlust等)でも、同じようなことが可能です。Gnusならば標準で、Wanderlustならばorg-wlという拡張があります。

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