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2019-03-19

コピーレフトなライセンスを変更するには?

GNU GPLやGNU LGPLといったライセンスは、コピーレフトという考えに従って、ライセンスされたプログラムのユーザーが誰でもそのプログラムを変更したり再配布する自由を保証しようとするものです。そのために、派生プログラムを配布する際にいくつかの制限が課されます。(例えば、派生プログラムを配布する際にソースコードにもアクセスできるようにする、LGPLライセンス下にあるライブラリにリンクするならデバッグ目的のリバースエンジニアリングを禁止してはいけない、等。)

そのような制限に不満がある場合、元のプログラムの著作権者があるバージョンからそのプログラムのライセンスを変更(リライセンス)することもあり得ます。そのようなライセンス変更の最近の実例として、MongoDBとZeroMQがあります。

MongoDBはそのサーバー製品のライセンスをGNU AGPLv3からServer Side Public Licnese (SSPL)という独自のライセンスへ切り替えました。SSPLの下では、MongoDBをデータベースとして利用するだけのSaaSアプリケーションにはコピーレフト条件がありません。また、MongoDBを内部用のみに提供するような場合にはコピーレフト条件が適用されません。SSPLがOSIに認定されたオープンソースライセンスになるかどうかはまだ不透明です。このリライセンスのために、RHEL 8.0 BetaにはMongoDBが含まれません。

一方、ZeroMQの開発チームは、ライブラリlibzmqのライセンスをLGPLからMPLないしその他のオープンソースライセンスへ変更しようとしています。しかし、従来はコード貢献者からcopyright assignment等を得ていなかったため、過去の貢献者にコンタクトを取りリライセンスの同意を取るという手続きを進めています。

2019-03-06

An upper bound of the Lévy–Prokhorov metric between probability distributions

The Lévy-Prokhorov metric is a metric on the set of probability distributions on the Borel \(\sigma\)-algebra \(\mathfrak{B}\) of metric space \((X, d)\). Call the Lévy-Prokhorov metric \(\pi\): \[\pi(P, Q) := \inf \{\varepsilon > 0 \mid P(A) \leq Q(A^\varepsilon) + \varepsilon \text{ and } Q(A) \leq P(A^\varepsilon) + \varepsilon \text{ for all } A \in \mathfrak{B} \}\] where \(A^\varepsilon := \{x \in X \mid d(a, x) < \varepsilon \text{ for some } a \in A \}\).

Also, there is another metric on the same set of probability measures on \(\mathfrak{B}\), called the total variation distance \(\delta\). It is defined by \[\delta(P, Q) := \sup_{A \in \mathfrak{B}} \lvert P(A) - Q(A) \rvert.\]

It is derived from the above definitions that the total variation distance between \(P\) and \(Q\) is an upper bound of the Lévy–Prokhorov metric between them, i.e., \[\pi(P, Q) \leq \delta(P, Q).\]Proof. If \(P(A) = Q(A)\) for each \(A \in \mathfrak{B}\), then \(\pi(P, Q) = \delta(P, Q) = 0\). Otherwise \(\delta(P, Q) > 0\), and for any \(A \in \mathfrak{B}\), \(P(A) \leq Q(A) + \delta(P, Q) \leq Q(A^{\delta(P, Q)}) + \delta(P, Q)\) and \(Q(A) \leq P(A) + \delta(P, Q) \leq P(A^{\delta(P, Q)}) + \delta(P, Q)\). QED.

2019-03-01

正規分布の標準偏差はばらつきを表すだけではない

一般に、確率分布の分散、あるいはその平方根の標準偏差は、その分布のばらつき具合を表わす指標です。特に1次元正規分布の場合、標準偏差\(\sigma\)はその密度関数の最大値を決めるパラメータでもあります。

正規分布の密度関数\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \operatorname{e}^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}\]を見ると明らかなように、最頻値\(x = \mu\)での値は\(\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}\)です。つまり、密度の最大値が(\(\mu\)によらず)\(\sigma\)に反比例します。これは\(\sigma\)が正規分布のscale parameterであることから従います。

さらに、指数分布ではscale parameter \(\beta\)が標準偏差と等しいだけでなく、平均とも等しいです。

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