# fixedpoint.jp

 Web fixedpoint.jp

## 2018/10/18

### 日本円のお札の記番号は何通り?

つまり、$$(1 + 24) * 24 * 900000 * 24 = 12960000000$$通りとなっている。

## 2018/10/14

### A lower bound of the Bhatia-Davis inequality

Having shown the Bhatia-Davis inequality in our previous post, we find that the Wikipedia article also mentions a curious lower bound on the variance $$\sigma^2$$ of a bounded random variable: $(M-\mu)(\mu-m) - \frac{(M-m)^3}{6} \leq \sigma^2.$ Alas, it is incorrect.

A clear counterexample is the uniform random variable on $$[0, \frac{1}{2}].$$ Obviously its $$M$$ is $$\frac{1}{2}$$, $$m = 0$$, and $$\mu = \frac{1}{4}$$, so the LHS is $$\frac{1}{24}$$; on the other hand $$\sigma^2 = \frac{1}{48}$$.

It is necessary for a correct lower bound to modify the second term slightly as follows.

Let $$f$$ be a probability density function for a bounded random variable $$X$$ with maximum $$M$$ and minimum $$m$$. Assume that $$f \in L^\infty$$ i.e. $$\lvert f(x) \rvert \leq \lVert f \rVert_\infty$$ for almost every $$x.$$ Then $(M-\mu)(\mu-m) - \frac{(M-m)^3}{6} \lVert f \rVert_\infty \leq \sigma^2.$

Proof. We can assume that $$m = 0$$ without loss of generality. \begin{align}\sigma^2 - (M-\mu)\mu + \frac{M^3}{6} \lVert f \rVert_\infty &= (\mathbb{E}[X^2] - \mu^2) - M\mu + \mu^2 + \frac{M^3}{6} \lVert f \rVert_\infty\\ &= \mathbb{E}[X^2] - M \mathbb{E}[X] + \frac{M^3}{6} \lVert f \rVert_\infty\\ &= \int_0^M (x-M) x f(x) dx + \int_0^M (M-x) x \lVert f \rVert_\infty dx\\ &= \int_0^M (M-x) x (\lVert f \rVert_\infty - f(x)) dx\\ &\geq 0\end{align} as $$M-x, x,$$ and $$\lVert f \rVert_\infty - f(x)$$ are nonnegative for almost every $$x$$ in $$[0, M].$$ QED.

## 2018/10/10

### A proof of the Bhatia-Davis inequality

The Bhatia–Davis inequality gives an upper bound on the variance of a bounded random variable. It has the following simple proof.

Let $$X$$ be a bounded random variable with maximum $$M$$ and minimum $$m.$$ Also, let $$\mu$$ be $$X$$'s expected value. Without loss of generality we can assume that $$m = 0.$$ (Otherwise, another random variable $$Y := X-m$$ has the same variance as $$X$$'s, and $$(M-\mu)(\mu-m) = \{(M-m)-(\mu-m)\}\{(\mu-m)-0\}.$$) Then$(M-\mu)(\mu-m)-\mathbb{E}[(X-\mu)^2] = \{(M+m)\mu+\mu^2-Mm\}-(\mathbb{E}[X^2]-\mu^2) = (M+m)\mu-Mm-\mathbb{E}[X^2] = M\mu-\mathbb{E}[X^2] \geq M\mu - M\mu = 0.$QED.

## 2018/10/01

### 金のエンゼルと銀のエンゼルの価値評価問題

さて、もしあなたがチョコボールを1箱購入するとして、そのくじ1枚としての価値はどのくらいであろうか？

ここでは仮に、景品1缶の価値を一定の金額で表せるものとし、それを$$V$$円とする。くじの総数(すなわち、市場に流通しているチョコボールの総数)を$$N$$、そのうち金のエンゼルのマークがあるものの数を$$N_G$$、銀のエンゼルのマークがあるものの数を$$N_S$$とする。そのときくじ全体と引き換えられる景品は全部で$$V (N_G + \lfloor \frac{N_S}{5} \rfloor)$$円相当である。したがって、公平なくじ1枚の価値を$$L$$円とすると、$L = \frac{V}{N} (N_G + \lfloor \frac{N_S}{5} \rfloor)$と表せる。

つまり、例えば市場に銀のエンゼルの総数に匹敵するほど消費者がいる(つまり、$$N_S = C$$)場合には、銀のエンゼルが5枚に満たないために(金のエンゼルが当たらない限り)景品を1つも得られない消費者の割合が80%以上を占めることになる。彼らの得た銀のエンゼルは景品に引き換えられないので、その分の販売元のコストが丸々浮くわけである。これは、消費者同士の競争で生じた1口の枚数に満たない端数の当たりくじの価値を販売元が無視できる、という現象の一端である。

ただし昨今ではオークションサイトなどで銀のエンゼルが消費者間で取引されているため、各消費者が端数の当たりくじのコストをとり戻す機会が増えており、逆に販売元は流通させているくじ全体の価値により近いコストを負担しつつあると言える。

## Archives

2018: Sep / Aug / Jul / Jun / May / Apr / Mar / Feb / Jan

2017: Dec / Nov / Oct / Sep / Aug / Jul / Jun / May / Apr / Mar / Feb / Jan

2016: Dec / Nov / Sep / Aug / Jul / Mar / Feb / Jan

2015: Dec / Oct / Sep / Jul / May / Mar / Feb

2014: Dec / Nov / Oct / Aug / Apr / Mar / Feb / Jan

2013: Dec / Nov / Oct / Sep / Aug / Jun / May / Apr / Mar

2012: Nov / Oct / Sep / Jul / Jun / May / Mar / Feb / Jan

2011: Dec / Nov / Oct / Sep / Jul / Jun / Apr / Mar / Feb / Jan

2010: Dec / Nov / Oct / Sep / Aug / Jul / Jun / May / Apr / Mar / Feb / Jan

2009: Dec / Nov / Oct / Sep / Aug / Jul / Jun / May / Apr / Mar / Feb / Jan

2008: Dec / Nov / Oct / Sep / Aug / Jul / Jun / May / Apr / Mar / Feb / Jan

2007: Dec / Nov / Oct / Sep / Aug / Jul / Jun / May / Apr / Mar / Feb / Jan

2006: Dec / Nov / Oct / Sep